Blog di Giorgio Israel: Florenskij e l’infinito


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Padroneggiare il concetto di infinito e di infinitamente piccolo è una delle grandi ambizioni su cui è nata la scienza moderna. La matematica atta a trattare questi concetti nacque nel Seicento come strumento per descrivere i fenomeni del moto e quindi come fondamento della nuova meccanica.
Da dove nacque l’interesse per l’infinito? Non dispiaccia a chi nega che scienza e religione abbiano qualcosa a che spartire: esso ha una matrice teologica ed è legato all’idea di una divinità trascendente.
Questa tematica era stata già compresa circa un secolo fa da un singolare pensatore russo Pavel A. Florenskij. Nato nel 1882, si laureò in matematica a Mosca nel 1904, l’anno in cui scrisse un saggio su “I simboli dell’infinito”. Personaggio geniale ed eclettico, Florenskij studiò filosofia, psicologia, teoria dell’arte e del linguaggio, e divenne uno specialista in ingegneria elettrotecnica; ma soprattutto sviluppò un interesse intenso per la teologia che lo portò, nel 1908, a diventare sacerdote ortodosso. Quando scoppiò la rivoluzione bolscevica era già celebre. Non volle lasciare il paese, malgrado fosse contrario al nuovo regime che alternò nei suoi confronti atteggiamenti di apertura, cercando di usarne le straordinarie competenze, e di controllo stretto. Florenskij restò per difendere la comunità ecclesiale e combattere il dogmatismo ideologico. Divenne ingombrante, fu imprigionato e poi fucilato nel 1937. Solo da pochi anni la sua opera sterminata è stata riscoperta e studiata. Nel saggio che ci interessa egli si occupa dell’opera, a lui contemporanea, del grande matematico tedesco Georg Cantor, creatore di una teoria degli insiemi infiniti che era il culmine dello sforzo secolare di dominare concettualmente l’infinito. Vogliamo qui illustrare la geniale intuizione con cui Florenskij comprese la natura teologica delle speculazioni matematiche di Cantor, ma per farlo dovremo fare una digressione introduttiva.
Vale anche per l’infinito la frase di Alfred North Whitehead secondo cui la filosofia europea «consiste di una serie di note a piè di pagina di Platone» e, in generale, del pensiero greco. Certo, il pensiero filosofico-scientifico moderno si è discostato dalle conclusioni dominanti nel pensiero greco, ma ha dovuto solo “scegliere” in un inventario in cui le varie definizioni di infinito e le aporie connesse a tali definizioni erano state esplorate a fondo. Le difficoltà legate alla considerazione dell’infinito – espresse nei celebri paradossi di Zenone – indussero i Greci a un atteggiamento di diffidenza, soprattutto nei confronti dell’“infinito attuale”, l’infinito dato una volta per tutte, pensato con un atto unico. Aristotele privilegiò l’“infinito potenziale”, inteso non come una quantità data ma come un processo di crescita senza limiti. In generale, i Greci propesero per una visione finitista, che era coerente con quella del cosmo, visto come una sfera chiusa, limitata, dal raggio finito.
Il monoteismo ebraico ruppe l’armonia greca tra uomo, cosmo e divinità introducendo un abisso tra l’uomo, creatura finita, e il suo mondo finito, da un lato, e un Dio concepito come Essere assoluto, trascendente, infinito. Era un abisso che soltanto la “voce” poteva superare: la voce di Dio che si rivela e quella dell’uomo che prega. Il teatro principale era spostato dalla natura alla sfera morale e religiosa della comunità umana. La teologia medioevale, sia ebraica che cristiana, recuperò lo spirito greco soltanto per quel che riguardava la sfera naturale: Aristotele divenne il praecursor Christi in naturalibus e, secondo Maimonide, la Torah conteneva forse una spiegazione dei segreti della natura, ma essa si era persa ed era ormai rimpiazzata dalla fisica di Aristotele. Ma la giustapposizione del trascendentalismo religioso col finitismo naturalistico conteneva una contraddizione interna insanabile. Già nel Medioevo si levarono molte voci a identificarla e criticarla. Tale fu il caso del filosofo ebreo Hasdaï Crescas le cui originalissime speculazioni sull’infinito aprirono la strada all’abbandono del finitismo aristotelico e dell’idea che il mondo è un plenum di oggetti e all’affermarsi di una visione geometrica dello spazio come contenitore vuoto in cui “galleggiano” i corpi. Sono i primi segni dello sbocciare del pensiero rinascimentale, del passaggio «dal mondo chiuso all’universo infinito» (Koyré) e che fu segnato dall’abbandono di Aristotele a favore di Platone.
Edmund Husserl ha descritto magistralmente la visione che è alla base del ripensamento moderno dei compiti ereditati dalla filosofia antica, che «non arrivava a riconoscere la possibilità di un compito infinito», e ha spiegato come l’apertura verso il tema dell’infinito sia la fonte di un’idea della conoscenza come processo indefinito di approssimazione verso la “verità”. La novità è l’«idea di una totalità infinita dell’essere e di una scienza razionale che lo domina razionalmente».
Qui si realizza pienamente la sintesi tra la razionalità greca e l’aspirazione ebraico-cristiana alla trascendenza. La razionalità greca viene proiettata verso un compito che supera i confini ristretti della concezione antica e insegue l’infinito come termine praticamente irraggiungibile ma perfettamente definito in un processo illimitato di avvicinamento. In questo quadro la matematica ha una funzione centrale, in quanto terreno su cui si realizza una conoscenza oggettiva.
Certo, le resistenze all’abbandono del punto di vista antico furono grandi, persino da parte di pensatori rivoluzionari come Descartes, che esclude che l’uomo possa attingere all’infinito. «Sarebbe ridicolo – egli dice – che noi, che siamo finiti, intraprendessimo di determinare qualcosa dell’infinito e, in tal modo, supporlo finito cercando di capirlo». Secondo Descartes noi possiamo solo constatare cose in cui non vediamo limiti e quindi non diremo che sono infinite, ma che sono indefinite, «riservando a Dio soltanto il nome di infinito». Quindi sebbene l’universo sia, in quanto immagine di Dio, infinito – e qui Descartes rompe con l’aristotelismo – nella mente dell’uomo appare come un “interminatum”. Dio è l’infinito attuale, alla mente dell’uomo è riservato solo l’infinito potenziale.
Ma proprio l’impossibilità di costruire una rappresentazione complessiva e definitiva dell’universo è il fondamento dell’oggettività della conoscenza! Se conoscenza umana e realtà fossero fuse, la seconda sarebbe finita e imperfetta come la prima e non sapremmo come accertare la verità delle nostre deduzioni. Ma noi sappiamo che esiste una realtà infinita, perfetta e oggettiva distinta dal nostro pensiero e irraggiungibile, in termini assoluti. Un processo di approssimazione indefinita verso di essa ci renderà certi che le nostre deduzioni partecipano, in modo sempre più perfezionato, della verità. Questa visione è il fondamento dell’oggettivismo scientifico, e Descartes la riprende dalla dottrina della docta ignorantia di Nicola Cusano. Per Cusano, «l’intelletto si comporta con la verità come il poligono con il cerchio: il poligono iscritto, quanti più lati ha, tanto più si avvicina al cerchio, senza diventar mai uguale a quello, anche se i suoi angoli vengono moltiplicati all’infinito, né giungere mai a coincidere col cerchio». Cusano è più audace di Descartes perché non arretra di fronte al concetto di infinito attuale: benché il processo di approssimazione della conoscenza sia “indefinito”, per avere senso esso deve avere come riferimento un infinito attuale, l’essenza oggettiva della realtà che è il riflesso delle leggi con cui Dio ha strutturato la natura.
Questo è il nodo che viene colto brillantemente da Florenskij nel trattare della teoria degli insiemi transfiniti di Cantor. Egli si sofferma sulla «distinzione fondamentale e del tutto elementare tra infinito attuale e infinito potenziale» e afferma – riallacciandosi a Cantor – che il secondo non è un’idea ma un concetto ausiliario, un “cattivo infinito”. A suo parere, tale concetto fu generato dalle riflessioni di Anassimandro, «secondo il quale la potenza inesauribile, inestinguibile dell’essere, l’apeiron indefinito, riempie lo spazio e dalle sue viscere genera ogni cosa». Ma la parola apeiron non significa contrariamente a quanto riteneva Aristotele, l’infinito della materia prima, «ma solo una fusione e una combinazione di potenze, la possibilità di generare continuamente esseri».
Il limite della nozione di infinito potenziale risulta dal fatto che esso non è pensabile senza l’infinito attuale: una crescita senza limiti non è pensabile se non in relazione a un contesto, che è proprio quello dato da un infinito attuale. Come potremmo pensare ad un numero sempre più grande di un altro se non in un ambiente, per esempio quello dei numeri interi? «Di conseguenza – afferma Florenskij – ogni infinito potenziale presuppone l’esistenza di un infinito attuale quale proprio limite sovrafinito, qualunque progresso infinito presuppone l’esistenza di uno scopo infinito nel progresso, ogni perfezionamento infinito necessita che sia ammessa l’infinita perfezione. Chi nega l’infinito attuale in qualunque accezione nega con ciò stesso anche l’infinito potenziale in quella stessa accezione, e il positivismo ha in sé gli elementi della propria corruzione. Come dire che nel positivismo ha luogo un autoavvelenamento tramite quanto prodotto dalla sua stessa attività».
Oggi, di fronte al tentativo di presentare il relativismo come essenza della conoscenza scientifica, appare davvero attuale la penetrante critica del Florenskij della contraddizione del positivismo, che da un lato afferma il valore universale della conoscenza scientifica e, dall’altro, gli toglie fondamento concependo il processo conoscitivo come un avanzare a caso senza un termine di riferimento. La necessità di un termine di riferimento assoluto – il cerchio limite di Cusano – mostra la centralità del discorso teologico nella fondazione dell’epistemologia scientifica moderna. Senza il riferimento all’infinito, la scienza intesa come costruzione che mira alla crescita della conoscenza non può essere neppure pensata. Florenskij cita il teologo e filosofo tedesco Constantin Gutberlet per denunciare un modo sbagliato di riferirsi a Tommaso d’Aquino: «C’è una seria incoerenza nel fatto che nell’Evo moderno si sia provato di utilizzare con pedante meticolosità tutte le opinioni scientifiche – ovviamente obsolete – di Tommaso d’Aquino, dal quale invece si prendevano le distanze quanto a una questione speculativa importantissima quale è l’eternità del mondo. C’è incoerenza anche nel fatto che nella Conoscenza di Dio si consenta un insieme attuale infinito di possibili cose, di cui però si nega la possibilità. […] Se un insieme attualmente infinito è una contraddizione in sé, esso non può esistere nemmeno nella Mente di Dio se non in quanto assurdo, qualcosa tipo la quadratura del cerchio».
Un altro tema di grande interesse del saggio di Florenskij è l’identificazione della radice della visione del mondo di Cantor nelle sue radici ebraiche. In realtà, oggi si ritiene che Cantor, certamente di origini ebraiche, fosse convertito al cristianesimo. Ma questo non è rilevante rispetto alle riflessioni di Florenskij. Egli identifica nello spirito ebraico ciò che fa dell’impresa scientifica di Cantor la manifestazione di «una grande fede» che mira a dimostrare la necessità dell’idea del transfinito. E osserva:
«Se come persona, Cantor appare quale modello vivissimo di ebreo, la sua visione del mondo ne è altrettanto – se non più – tipica. L’idea dell’infinità perfetta (infinito finito) della persona assoluta – Dio – così come della persona umana è una prerogativa dell’ebraismo, e questa idea pare essere il fondamento più sostanziale di Cantor. […] alla sua anima l’idea dell’impossibilità dell’infinito attuale appare mostruosa. […] Persino l’infinito potenziale, per lui, è importante solo a condizione di una crescita non indefinita, non il-limitata nel senso primo del termine, ma a condizione tendere verso quello stesso confine, verso l’infinito attuale quale suo scopo ideale».
Florenskij coglie nella spinta al ricongiungimento con il Dio trascendente il motore dell’aspirazione all’infinito che ha un ruolo centrale nella scienza moderna. Egli illustra questa tensione con un sorprendente riferimento a un’invocazione che ha un ruolo centrale nella festività di Pesach (la Pasqua ebraica) e che è contenuta nel testo che viene letto durante la notte della cena pasquale – la Hagaddah. Florenskij la riporta a conclusione del saggio come espressione della tensione al ricongiungimento con l’infinità divina (analoga alla richiesta di Giacobbe all’angelo con cui aveva lottato tutta la notte di non lasciarlo prima di averlo benedetto):
«È probabile che tutti conoscano il “cantico pasquale degli ebrei. Ricorderete certamente l’insistenza decisa, la petulanza – per dirla in modo rozzo – delle preghiere a Dio. Tale incalzante richiesta, tale lotta con Dio, “non ti lascio finché non mi benedici”, sono quanto mai tipiche dell’opera di Georg Cantor, e penso di non poter spiegare meglio il senso del suo operato se non riportando il testo di tale cantico. Eccolo:
Egli Che è possente ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!
Egli Che è prescelto ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!
Egli Che è grande ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è onorato, fedele, giusto, pio ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è puro, unico, possente, saggio, re, dotto, forte, prode, liberatore, giusto ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!
Egli Che è santo, pietoso, onnipotente, forte ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!»
Un secolo fa non si parlava di «radici giudaico-cristiane», ma il cristiano Florenskij aveva capito con profondità ineguagliabile ciò che la religiosità ebraica aveva dato al pensiero europeo moderno.

Blog di Giorgio Israel: Florenskij e l’infinito.

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